গণিত: অধ্যায় ৪ ঐকিক নিয়ম

অধ্যায়-৪  ঐকিক নিয়ম
প্রিয় ৫ম শ্রেণীর শিক্ষার্থী, গণিত বিষয়ের ওপর আলোচনায় তোমাদের স্বাগত জানাচ্ছি। সেই সঙ্গে অনেক অনেক প্রীতি ও শুভেচ্ছা।
আমাদের আজকের আলোচনায় রয়েছে চতুর্থ অধ্যায়ের ‘ঐকিক নিয়ম’। মূল আলোচনায় যাওয়ার আগে এসো, ‘ঐকিক’ শব্দটি কোথা থেকে এসেছে এবং এর অর্থ কী তা জেনে নেওয়া যাক।
‘ঐকিক’ শব্দটি এসেছে ‘একক’ শব্দ থেকে। এখানে ‘একক’ বলতে ‘এক’ বোঝানো হয়েছে। নির্দিষ্টসংখ্যক একজাতীয় কতগুলো জিনিসের পরিমাণ বা দাম দেওয়া থাকলে অন্য কতগুলো ওই জাতীয় নির্দিষ্টসংখ্যক জিনিসের পরিমাণ বা দাম নির্ণয় করার জন্য প্রথমেই উল্লিখিত ওই সব জিনিসের একটির পরিমাণ বা দাম নির্ণয় করতে হয়। গণিত বিষয়ে হিসাব-নিকাশের এই নিয়মটির নাম ‘ঐকিক’ নিয়ম।
ঐকিক নিয়মে সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি
ঐকিক নিয়মে সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে প্রশ্নটি ভালোভাবে পড়ে জেনে নিতে হয় প্রশ্নে কী দেওয়া আছে এবং কী চাওয়া হয়েছে বা কী বের করতে হবে বা কী নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। আর সেই ধারাবাহিকতায়—
ক. প্রথম ধাপ: সমাধানের সময় প্রথম ধাপের প্রথম লাইন বা বাক্যটি এমনভাবে সাজাতে হবে যেন প্রশ্নে উল্লিখিত পরিমাণ দাম ইত্যাদির মধ্যে যে রাশিটি বের করতে হবে সে রাশিটি বাক্য বা লাইনের শেষের দিকে (ডান দিকে) থাকে।
খ. দ্বিতীয় ধাপ: দ্বিতীয় লাইন বা ধাপে অবশ্যই স্পষ্টভাবে দেওয়া বাম পাশের জিনিসটির পরিমাণ বা দামের সরাসরি নিচে ‘১’ লিখতে হয় এবং ডান পাশের সংখ্যাটি সরাসরি (ডানে) লিখে নিয়ে তারপর পরিমাণ বা দাম বেশি বোঝানো হলে গুণ চিহ্ন বসিয়ে প্রথম লাইনের প্রথম রাশি লিখতে হয়। আর কম বোঝালে ভাগচিহ্ন বসিয়ে প্রথম লাইনের প্রথম রাশি লিখতে হয়।
গ. তৃতীয় ধাপ: তৃতীয় লাইন বা ধাপে যে নির্দিষ্টসংখ্যক জিনিসের পরিমাণ বা দাম চাওয়া হয়েছে তা ‘১’এর নিচে লিখে পদ্ধতি অনুসারে গুণ বা ভাগের কাজ করতে হয়।
এবার এসো, একটি উদাহরণের সাহায্যে পুরো পদ্ধতিটি একবার বুঝে নেওয়া যাক।
উদাহরণ: ১৫ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ৯ জন লোক ওই কাজটি কত দিনে করতে পারবে?
লক্ষ করো: সুষ্ঠু সমাধানের জন্য এখানে ওপরে বর্ণিত কথাগুলোর আলোকে প্রশ্নটি পড়ে নিজেকে কিছু প্রশ্ন করা যায় এবং উত্তরগুলোও খুঁজে বের করা যায়:
প্রশ্ন: এখানে কী দেওয়া আছে?
উত্তর: ১৫ জন লোকের কাজের সময় নির্দিষ্ট করে দেওয়া আছে ‘১২’ দিন।
প্রশ্ন: কী চাওয়া হয়েছে বা কী বের করতে হবে?
উত্তর: ৯ জন লোক সেই কাজ কত দিনে করতে পারবে, তা বের করতে হবে।
এবার সমাধান করার জন্য পূর্বে বর্ণিত নিয়ম অনুসারে ধাপগুলো যেভাবে সাজাতে পারি:
১ম ধাপ: ১৫ জন লোক কাজটি করতে পারে ১২ দিনে
২য় ধাপ: ১ ” ” ” ” ” (১২১৫) দিনে
= ১৮০ দিনে
তৃতীয় ধাপ: ৯ ” ” ” ” ” (১৮০৯) দিনে
= ২০ দিনে
উত্তর: ২০ দিনে।
 প্রশ্ন: ১২ ডজন খাতার দাম ২৩০৪ টাকা। আটটি খাতার দাম কত?
এই সমস্যাটির সমাধান করতে গিয়ে আমরা অনেকে যা করে থাকি:
১২ ডজন=১২–১২টি =১৪৪টি
১৪৪টির দাম ২৩০৪ টাকা
১ ” ” ২৩০৪ ”
১৪৪
৮ ” ” ২৩০৪–৮ ” = ১২৮ টাকা
১৪৪
উত্তর: ১২৮ টাকা।
লক্ষ করো: এই সমাধানটি সম্পূর্ণ ঐকিক নিয়মের সাহায্যে করা হয়েছে। যেহেতু ঐকিক নিয়ম সম্পর্কে আমরা এখনো (অর্থাৎ এই অনুশীলনী আসা পর্যন্ত) কোনো ধারণা লাভ করিনি। কাজেই আমাদের জানা ও শেখা প্রাথমিক চার নিয়মের আলোকেই এই সমাধান করা উত্তম। এবার এসো, এই সমস্যাটির আদর্শ সমাধান কেমন হতে পারে তা দেখা যাক।

প্রশ্ন: ১২ ডজন খাতার দাম ২৩০৪ টাকা। ৮টি খাতার দাম কত?
সমাধান: ১ ডজন=১২টি
১২ ডজন = (১২–১২) টি =১৪৪ টি
এখানে, ১৪৪টি খাতার দাম ২৩০৪ টাকা
১টি খাতার দাম (২৩০৪—১৪৪) টাকা = ১৬ টাকা। এখন, ১টি খাতার দাম ১৬ টাকা
৮টি খাতার দাম (১৬–৮)টাকা =১২৮ টাকা।
উত্তর: ১২৮ টাকা।
# পরবর্তী অংশ ছাপা হবে আগামীকাল
রাফ
১৪৪)২৩০৪(১৬
১৪৪
৮৬৪
৮৬৪
০

 প্রশ্ন: ১০০ লিচুর দাম ৯০ টাকা হলে ২০টি লিচুর দাম কত?
সমাধান: ১০০টি লিচুর দাম ৯০ টাকা বা ৯০০০ পয়সা
 ১ ” ” ” (৯০০০১০০) পয়সা
= ৯০ পয়সা
 ২০ ” ” ” (৯০২০) পয়সা
= ১৮০০ পয়সা
বা ১৮ টাকা
উত্তর: ১৮ টাকা।
প্রশ্ন: ২০০ জন লোক যে খাদ্য ২০ দিনে খেতে পারে, কতজন লোক সে খাদ্য ৪০ দিনে খেতে পারবে?
সমাধান: ২০ দিনে খেতে পারে ২০০ জন লোক
 ১ ” ” ” (২০০২০) জন লোক
= ৪০০০ জন লোক
৪০ ” ” ” (৪০০০৪০) জন লোক
= ১০০ জন লোক
উত্তর: ১০০ জন লোক।
প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে ১৬ জন ছাত্রের ২৫ দিনের খাদ্য আছে। কয়েকজন নতুন ছাত্র আসায় ২০ দিনে খাদ্য শেষ হয়ে গেল। নতুন ছাত্রের সংখ্যা কত?
সমাধান: ২৫ দিনের খাদ্য আছে ১৬ জনের
 ১ ” ” ” (১৬২৫) জনের
= ৪০০ জনের
 ২০ ” ” ” (৪০০২০) জনের
= ২০ জনের
সুতরাং নতুন ছাত্রের সংখ্যা হলো: (২০-১৬) জন
= ৪ জন
উত্তর: ৪ জন।
প্রশ্ন: কোনো শিবিরে ১২০০ সৈন্যের ২৮ দিনের খাদ্য আছে। ঐ শিবির থেকে ৪০০ সৈন্য চলে গেলে বাকি সৈন্যের ঐ খাদ্যে কত দিন চলবে?
সমাধান: শিবিরে সৈন্য ছিল ১২০০ জন
শিবির হতে সৈন্য চলে গেল ৪০০ জন
 শিবিরে সৈন্য বাকি থাকল ৮০০ জন
এখন,
ঐ খাদ্যে ১২০০ সৈন্যের চলে ২৮ দিন
 ” ” ১ ” ” (২৮১২০০) দিন
= ৩৩৬০০ দিন
 ” ” ৮০০ ” ” (৩৩৬০০৮০০) দিন
= ৪২ দিন
সুতরাং বাকি সৈন্যের ঐ খাদ্যে ৪২ দিন চলবে।
উত্তর: ৪২ দিন।
 প্রশ্ন: ২০ জন লোক একটি কাজ ১৫ দিনে করতে পারে। ১৫ জন লোক ঐ কাজ কত দিনে করতে পারবে?
সমাধান: ২০ জন লোক কাজটি করতে পারে ১৫ দিনে
 ১ ” ” ” ” ” (১৫২০) দিনে
= ৩০০ দিনে
 ১৫ ” ” ” ” ” (৩০০১৫) দিনে = ২০ দিনে
উত্তর: ২০ দিনে।
প্রশ্ন: কোনো ছাত্রাবাসে ৫০০ জন ছাত্রের ৫০ দিনের খাবার আছে। ১০ দিন পর ঐ ছাত্রাবাসে আরও ৩০০ জন ছাত্র আসল। বাকি খাদ্যে তাদের আর কত দিন চলবে?
সমাধান: ১০ দিন পর:
খাবার থাকে (৫০-১০) দিনের = ৪০ দিনের
ছাত্রসংখ্যা হয় (৫০০+৩০০) জন = ৮০০ জন
এখন,
বাকি খাদ্যে ৫০০ জন ছাত্রের চলে ৪০ দিন
 ” ” ১ ” ” ” (৪০৫০০) দিন = ২০০০০ দিন
 ” ” ৮০০ ” ” ” (২০০০০৮০০) দিন = ২৫ দিন
সুতরাং বাকি খাদ্যে তাদের আর ২৫ দিন চলবে। উত্তর: ২৫ দিন।
প্রশ্ন: কোনো পরিবারে ৮ জন লোকের ২৬ দিনের খাদ্য আছে। ৫ দিন পর ১ জন লোক বাইরে চলে গেল। এখন বাড়ির লোকের অবশিষ্ট খাদ্যে আর কত দিন চলবে?
সমাধান: ৫ দিন পর,
পরিবারে লোক থাকে (৮-১) জন = ৭ জন
পরিবারে খাদ্য থাকে (২৬-৫) দিনের = ২১ দিনের
এখন,
অবশিষ্ট খাদ্যে ৮ জনের চলে ২১ দিন
 ” ” ১ ” ” (২১৮) দিন = ১৬৮ দিন
 ” ” ৭ ” ” (১৬৮৭) দিন = ২৪ দিন
সুতরাং বাড়ির লোকের অবশিষ্ট খাদ্য আর ২৪ দিন চলবে। উত্তর: ২৪ দিন।

প্রশ্ন: একটি পুকুর খনন করতে ২০০ জন লোকের ২৫ দিন লাগে। পুকুরটি ২০ দিনে খনন করতে চাইলে অতিরিক্ত কতজন লোক নিয়োগ করা প্রয়োজন?
সমাধান: ২৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারে ২০০ জন লোক
১ ” ” ” ” ” (২০০×২৫) জন লোক
= ৫০০০ জন লোক
 ২০ ” ” ” ” ” (৫০০০÷২০) জন লোক
= ২৫০ জন লোক
সুতরাং অতিরিক্ত লোক নিয়োগ করা প্রয়োজন (২৫০-২০০) জন = ৫০ জন।
উত্তর: ৫০ জন।
প্রশ্ন: ১৬ জন লোকের ১ সপ্তাহে ৫৬ কেজি চাল লাগে। ২৪ জন লোকের ৬ সপ্তাহে কত কেজি চাল লাগবে?
সমাধান: ১ সপ্তাহে ১৬ জনের লাগে ৫৬ কেজি চাল
৬ ” ১৬ ” ” (৫৬×৬) কেজি চাল = ৩৩৬ কেজি চাল
৬ ” ১ ” ” (৩৩৬÷১৬) কেজি চাল = ২১ কেজি চাল
৬ ” ২৪ ” ” (২১২৪) কেজি চাল = ৫০৪ কেজি চাল
উত্তর: ৫০৪ কেজি।
প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে ১৬ জন ছাত্রের ২৫ দিনের খাদ্য আছে। কয়েকজন নতুন ছাত্র আসায় ২০ দিনে খাদ্য শেষ হয়ে গেল। নতুন ছাত্রের সংখ্যা কত?
সমাধান: ২৫ দিনের খাদ্য আছে ১৬ জনের
 ১ ” ” ” (১৬×২৫) জনের
= ৪০০ জনের
 ২০ ” ” ” (৪০০÷২০) জনের
= ২০ জনের
সুতরাং নতুন ছাত্রের সংখ্যা হলো: (২০-১৬) জন = ৪ জন
উত্তর: ৪ জন।

প্রিয় শিক্ষার্থীরা, আজ গণিত বিষয়ের ৪ নম্বর অধ্যায় থেকে গাণিতিক সমস্যার সমাধান করব।
প্রশ্ন: ২০০ জন লোক যে খাদ্য ২০ দিন খেতে পারে, কতজন লোক সে খাদ্য ৪০ দিনে খেতে পারবে?
সমাধান: ২০ দিন খেতে পারে ২০০ জন লোক
 ১ ” ” ” (২০০x২০) জন লোক
= ৪০০০ জন লোক
 ৪০ ” ” ” (৪০০০÷৪০) জন লোক
= ১০০ জন লোক
উত্তর: ১০০ জন লোক।
প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে ১৬ জন ছাত্রের ২৫ দিনের খাদ্য আছে। কয়েকজন নতুন ছাত্র আসায় ২০ দিনে খাদ্য শেষ হয়ে গেল। নতুন ছাত্রের সংখ্যা কত?
সমাধান: ২৫ দিনের খাদ্য আছে ১৬ জনের
 ১ ” ” ” (১৬x২৫) জনের
= ৪০০ জনের
 ২০ ” ” ” (৪০০÷২০) জনের
= ২০ জনের
সুতরাং নতুন ছাত্রের সংখ্যা হলো: (২০-১৬) জন
= ৪ জন
উত্তর: ৪ জন।
প্রশ্ন: কোনো শিবিরে ১২০০ সৈন্যের ২০ দিনের খাদ্য আছে। ওই শিবির হতে ৪০০ সৈন্য চলে গেলে বাকি সৈন্যের ওই খাদ্য কত দিন চলবে?
সমাধান: শিবিরে সৈন্য ছিল ১২০০ জন
শিবির হতে সৈন্য চলে গেল ৪০০ জন
 শিবিরে সৈন্য বাকি থাকল ৮০০ জন
এখন,
ওই খাদ্যে ১২০০ সৈন্যের চলে ২৮ দিন
 ” ” ১ ” ” (২৮x১২০০) দিন
= ৩৩৬০০ দিন
 ” ” ৮০০ ” ” (৩৩৬০০÷৮০০) দিন
= ৪২ দিন
সুতরাং বাকি সৈন্যের ওই খাদ্য ৪২ দিন চলবে। উত্তর: ৪২ দিন।
প্রশ্ন: কোনো ছাত্রাবাসে ৫০০ জন ছাত্রের ৫০ দিনের খাবার আছে। ১০ দিন পর ওই ছাত্রাবাসে আরও ৩০০ জন ছাত্র এল। বাকি খাদ্যে তাদের আর কতদিন চলবে?
সমাধান: ১০ দিন পর:
খাবার থাকে (৫০-১০) দিনের = ৪০ দিনের
ছাত্র সংখ্যা হয় (৫০০+৩০০) জন = ৮০০ জন
এখন,
বাকি খাদ্যে ৫০০ জন ছাত্রের চলে ৪০ দিন
 ” ” ১ ” ” ” (৪০x৫০০) দিন
= ২০০০০ দিন
 ” ” ৮০০ ” ” ” (২০০০০÷৮০০) দিন
= ২৫ দিন
সুতরাং বাকি খাদ্যে তাদের আর ২৫ দিন চলবে।
উত্তর: ২৫ দিন।
প্রশ্ন: কোনো পরিবারে ৮ জন লোকের ২৬ দিনের খাদ্য আছে। ৫ দিন পর ১ জন লোক বাইরে চলে গেল। এখন বাড়ির লোকের অবশিষ্ট খাদ্যে আর কতদিন চলবে?
সমাধান: ৫ দিন পর
পরিবারে লোক থাকে (৮-১) জন = ৭ জন
পরিবারে খাদ্য থাকে (২৬-৫) দিনের = ২১ দিনের
এখন,
অবশিষ্ট খাদ্য ৮ জনের চলে ২১ দিন
 ” ” ১ ” ” (২১x৮) দিন
= ১৬৮ দিন
 ” ” ৭ ” ” (১৬৮÷৭) দিন
= ২৪ দিন
সুতরাং বাড়ির লোকের অবশিষ্ট খাদ্যে আর ২০ দিন চলবে।
উত্তর : ২৪ দিন
প্রশ্ন: একটি পুকুর খনন করতে ২০০ জন লোকের ২৫ দিন লাগে। পুকুরটি ২০ দিনে খনন করতে চাইলে অতিরিক্ত কতজন লোক নিয়োগ করা প্রয়োজন?
সমাধান: ২৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারে ২০০ জন লোক
 ১ ” ” ” ” ” (২০০x২৫) জন লোক
= ৫০০০ জন লোক
 ২০ ” ” ” ” ” (৫০০০÷২০) জন লোক
= ২৫০ জন লোক
সুতরাং অতিরিক্ত লোক নিয়োগ করা প্রয়োজন (২৫০-২০০) জন
= ৫০ জন
উত্তর: ৫০ জন।