গণিত: অনুশীলনী-৭

অনুশীলনী-৭ 
প্রিয় শিক্ষার্থী, গণিত বিষয়ের ওপর ধারাবাহিক পাঠ আলোচনায় তোমাদের স্বাগত জানাচ্ছি। সেই সঙ্গে অনেক অনেক প্রীতি ও শুভেচ্ছা। আমাদের আজকের আলোচনায় রয়েছে অনুশীলনী ৭-এর ল.সা.গু।
আমরা তো জানি, লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতককে সংক্ষেপে ল.সা.গু বলা হয়। এটাও জানি, লঘিষ্ঠ মানে ছোট বা ক্ষুদ্রতম বা কম সংখ্যক, ন্যূনতম। গুণিতক হচ্ছে একটি সংখ্যাকে কোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ করে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রথম সংখ্যাটির একটি গুণিতক। যেমন ১২ এর গুণিতক হচ্ছে: ১২, ২৪, ৩৬, ৪৮ ইত্যাদি। অর্থাৎ ১২ কে ১ থেকে শুরু করে যে যে সংখ্যা দিয়ে গুণ করে যেসব গুণফল পাওয়া যাবে সেইসব গুণফলের প্রত্যেকটি ১২ এর এক একটি গুণিতক।
সাধারণত তিনটি পদ্ধতি অনুসরণ করে ল.সা.গু নির্ণয় করা যায়।
১. পর্যবেক্ষণের সাহায্যে
২. মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে
৩. সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে।
লক্ষ করো: উদাহরণ ৭-এর নিয়ম অনুসারে সমাধান করা যায় অনুশীলনীর ৩ নম্বর প্রশ্ন। উদাহরণ ৮-এর নিয়ম অনুসারে সমাধান করা যায় ৪ নম্বর প্রশ্ন।
প্রিয় শিক্ষার্থী, গ.সা.গু এর মতো ল.সা.গু সংক্রান্ত সমস্যা সমাধান করতে গিয়েও আমরা অনেক সময় মনের ভুলে অনেক ভুল করে ফেলি। যেমন প্রশ্নে আছে: কোনো ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১৬, ২৪, ৩২, ৪০ দ্বারা ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৬ অবশিষ্ট থাকবে?
এই সহজ সমস্যাটির সমাধান আমরা অনেকে করে থাকি এভাবে:
২ ১৬, ২৪, ৩২, ৪০
২ ৮, ১২, ১৬, ২০
২ ৪, ৬, ৮, ১০
২ ২, ৩, ৪, ৫
১, ৩, ২, ৫
 নির্ণেয় ল.সা.গু = ২২২২৩২৫=৪৮০+৬= ৪৬৮
এ রকম সমাধান তোমাকে নম্বর প্রাপ্তির নিশ্চয়তা কখনো দেবে না। কারণ—
# তুমি কেন এই সমস্যার সমাধানে ল.সা.গু করেছ তার কোনো নির্দিষ্ট ব্যাখ্যা নেই।
# ল.সা.গু সংক্রান্ত প্রশ্নের/কথার সমস্যা সমাধানে নির্ণেয় ল.সা.গু লেখা ঠিক নয়।
# শেষ ধাপে কেন ৬ যোগ করা হয়েছে তারও কোনো সুনির্দিষ্ট ব্যাখ্যা নেই।
তাহলে সমাধানটি কেমন হওয়া দরকার? এসো, প্রশ্নটি আবার পড়ি এবং আদর্শ সমাধান দেখি।
প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১৬, ২৪, ৩২, ৪০ দ্বারা ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৬ অবশিষ্ট থাকবে?
সমাধান: যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১৬, ২৪, ৩২, ৪০ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ৬ অবশিষ্ট থাকবে তা হচ্ছে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু থেকে ৬ বেশি। এখন, ১৬, ২৪, ৩২ ও ৪০ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
২ ১৬, ২৪, ৩২, ৪০
২ ৮, ১২, ১৬, ২০
২ ৪, ৬, ৮, ১০
২ ২, ৩, ৪, ৫
১, ৩, ২, ৫
সুতরাং ১৬, ২৪, ৩২, ৪০ এর ল.সা.গু
= ২২২২৩২৫ = ৪৮০
অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা
= ৪৮০+৬
= ৪৮৬
উত্তর: ৪৮৬।
প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে পরে ৫, ৭, ১২ এবং ১৫ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল। ন্যূনতম কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?
সমাধান: নির্ণেয় ন্যূনতম সময় হচ্ছে ৫, ৭, ১২ এবং ১৫ এর ল.সা.গু যত, তত সেকেন্ড।
এখন, ৫, ৭, ১২ এবং ১৫ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি।
৩ ৫, ৭, ১২, ১৫
৫ ৫, ৭, ৪, ৫
১, ৭, ৪, ১

সুতরাং ৫, ৭, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু
= ৩×৫×৭×৪ = ৪২০
অতএব, ঘণ্টা চারটি ন্যূনতম ৪২০ সেকেন্ড বা (৪২০÷৬০) মিনিট
= ৭ মিনিট পরে পুনরায় একত্রে বাজবে। [ ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট]
উত্তর: ৭ মিনিট।
প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সঙ্গে ৭ যোগ করলে যোগফল ১৫, ১৮, ২০, ২৪ ও ৩২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
সমাধান: যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সঙ্গে ৭ যোগ করলে যোগফল ১৫, ১৮, ২০, ২৪ ও ৩২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে তা হচ্ছে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু থেকে ৭ কম।
এখন, ১৫, ১৮, ২০, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি।
২ ১৫, ১৮, ২০, ২৪, ৩২
২ ১৫, ৯, ১০, ১২, ১৬
২ ১৫, ৯, ৫, ৬, ৮
৩ ১৫, ৯, ৫, ৩, ৪
৫ ৫, ৩, ৫, ১, ৪
১, ৩, ১, ১, ৪

সুতরাং ১৫, ১৮, ২০, ২৪, ৩২ এর ল.সা.গু= ২২২৩৫৩৪=১৪৪০
অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা
= (১৪৪০-৭)
= ১৪৩৩
উত্তর: ১৪৩৩।